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李群嵌入神经网络：用流形学习实现可控稳定动力学
当神经网络学会“几何对称”：李群嵌入开启稳定动力学新范式
在机器人、图形学与控制领域，许多现实问题都涉及旋转、平移等连续对称性，而李群（Lie group）正是描述这类对称性的数学工具。然而，传统神经网络在欧几里得空间运作，难以直接“理解”李群的非线性结构。近日，研究者提出 LieEDNN（李群嵌入动力学神经网络），通过将李群嵌入神经网络，在流形上实现可学习且稳定的动力学系统。
两大核心挑战
- 加法不兼容：李群本身不满足加法运算，而神经网络依赖线性代数中的加法与矩阵乘法。
- 非线性表示空间：动力学在李代数（Lie algebra）的矢量空间中演化，这与常规神经常微分方程（Neural ODE）的欧几里得范式不同。
解决方案：伴随作用与流形投影
为了突破上述限制，研究团队引入伴随李群作用，将李代数上的线性映射转化为权重矩阵的块状结构，从而在代数空间内实现加法操作。具体而言：
- 将李代数参数化为线性变换，与神经网络感知机对齐；
- 通过块状流形约束对权重施加几何限制；
- 开发基于梯度下降与度量投影的学习算法，保证时间动力学系统的稳定性。
实验验证：SE(3)与伸缩机械臂
论文以特殊欧几里得群 SE(3)（描述刚体旋转与平移）为实例，将其应用于伸缩机械臂的动力学规划。实验结果表明，LieEDNN 能够在流形上学习到稳定的动态轨迹，验证了方法的有效性。
行业意义与潜在影响
这项研究为将几何深度学习引入控制与机器人领域提供了新思路。传统方法往往需要手动设计动力学模型，而 LieEDNN 让模型自动从数据中学习流形上的稳定行为，有望简化复杂系统的控制流程。未来，该方法可扩展至更多李群（如旋转群 SO(3)），在机械臂规划、3D 图形动画、航天器姿态控制等场景中落地。
论文目前为预印本，正在审稿中。