固定与自适应拓扑深度算子网络：在Hausdorff局部凸空间上的函数测量
固定与自适应拓扑深度算子网络：在Hausdorff局部凸空间上的函数测量
深度算子网络（DeepONet）是学习函数到函数映射的强大工具，但传统方法通常依赖固定离散化上的点值采样，这限制了其泛化能力和对非标准输入空间的适应性。近期，来自布朗大学的Khemraj Shukla和George Em Karniadakis提出了一种新框架——固定与自适应拓扑DeepONet，通过引入连续线性泛函测量，将算子学习推广到更一般的Hausdorff局部凸空间。
该工作基于Ismailov提出的拓扑DeepONet框架，将点采样替换为从连续对偶空间$V'$中选取的连续线性泛函。这里，$V$的拓扑由一族点分离的半范数生成，而非单一范数，这使得框架能够处理非赋范空间，例如某些函数空间。研究者设计了固定和自适应两种测量系统，并结合Lee和Shin提出的系数空间两步法，同时引入仅训练解码器和正则化以稳定自适应坐标。
理论上，他们推导了离散误差分解，将误差分为测量误差、输出基误差和神经逼近误差，并给出了Barron率改进。实验评估覆盖了多个基准问题，包括反导数算子、非赋范局部凸输入空间、非均匀达西流、受控算子以及固定时间和时间演化的Navier-Stokes涡量算子。
在非均匀达西流问题中，功能模型在未见网格上保持了近分辨率无关的误差（5.5%-5.6%）；在受控问题中，自适应测量将平均误差降至1.2%以下。对于固定时间Navier-Stokes问题，自适应拓扑DeepONet以128个功能坐标实现了1.685% ± 0.017%的平均相对$L^2$误差，成为基于DeepONet的最准确模型。而同等规模的傅里叶神经算子（FNO）虽然误差更低（0.832% ± 0.172%），但需要完整的64x64输入场，训练时间翻倍，峰值GPU内存高出10.7倍。
该框架提供了紧凑、可解释且可移植的坐标表示，适用于连续对偶空间，包括非赋范输入空间，为算子学习开辟了新的可能性。这一进展有望推动科学计算和机器学习在更复杂函数空间中的应用。